郝氏數列

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郝氏數列(Cauchy Sequence)係一種數列,係數學分析入面係一個基礎而重要嘅概念。呢個概念可以引伸到拓樸學,同完備性

定義

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假設有一條實數列 

畀任何一個 ,如果有一個自然數 ,令到數列 入面嘅第 項符合, 

咁呢條實數列 就係郝氏數列。

概念

畀咗一個 ,同時假設有一條數例, 

計每一個項減走之前嗰一個項, ,當計到第一次發現 

假設嗰兩項做  ,而 。咁佢就係一條郝氏數列。

例子

假設 ,咁 

因此,由第一項就符合呢個條件,佢就係一條郝氏數列。

郝氏要求

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郝氏要求(Cauchy Convergence Criterion)係郝氏數列其中一個性質。佢指明任務一條趨向一點嘅數例都係一條郝氏數列,反之亦然。

性質一

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假設實數列 係趨向一點,咁 就係郝氏數列。

證明:

假設實數列 係趨向一點 ,姐係

畀任何一個 ,佢都會有一個數 ,令到第 項符合 

 ,咁樣 都會符合 

利用三角形不等式,得知

 

因此,佢係郝氏數列。

性質二

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任何一條郝氏數列都係被綁定。

證明:

假設實數列 係郝氏數列,將 ,根據定義,

佢都會有一個數 ,令到第 項符合 

利用三角形不等式,得知

 

定義 ,咁樣對應該任何既 

 

郝氏要求

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一條實數列係趨向一點 (即係佢一定係)一條郝氏數列。

證明:

( ) 利用性質一。

( ) 利用性質二得知,所有郝氏數列都係被綁定。因此,可以利用保西奴-華實斯定理

可以從郝氏實數列 中,得出一條子數列 ,而且呢條子數列 趨向 呢點。

因為 係郝氏數列,利用定義得知,

畀任何一個 ,都會有一個 項符合, 

因為 趨向 呢點,利用定義得知,

畀任何一個 ,都會有一個 項符合, 

因為 ,所以同時符合郝氏數列,因此可以將 ,得出

 

計算,

 

因此佢係趨向 呢點。

睇埋

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